再看《Homomorphic Multiple Precision Multiplication for CKKS and Reduced Modulus Consumption》

上一篇文章中通过与Google AI Stduio中的Gemini 3 pro 进行对话学习，大致了解了《Homomorphic Multiple Precision Multiplication for CKKS and Reduced Modulus Consumption》中的降低精度与减少模数消耗的思路，关键在于通过将密文拆分为高低位，在Tensor2中隐式rescale掉一部分scale。

核心探讨：朴素 RNS-CKKS vs Mult² 方案

Q1: 关于朴素方法的思考

问题：

我发现这个方法和另一种更朴素的方式：将层数翻倍，每层消耗两个模数，这样似乎也能用上 28bits 的高性能 NTT？这和目前这个方法的优劣对比如何？

回答：这是一个非常深刻且直击本质的问题！你提出的这个“朴素方法”（Naive Approach），其实正是传统 RNS-CKKS 在不得不使用小素数时的标准做法。

我们将这两种方法命名为：

朴素方法 (Naive Approach)： 强行把两个 28-bit 素数捆绑在一起，作为一层（每层消耗 2 个素数，Scaling Factor $\Delta \approx 2^{56}$ ）。
Mult² 方法 (Our Paper)： 使用 High/Low 结构，每层逻辑上消耗 1 个 28-bit 素数（但利用算法结构达到 $\Delta \approx 2^{56}$ 的效果）。

它们都能完美适配你的 28-bit GPU NTT。但是，Mult² 的核心优势在于“降维打击”。

以下是详细的优劣对比：

1. 核心差异：模数消耗率

这是决定胜负的关键。

朴素方法：
- 为了维持 56-bit 精度，你必须在 Rescale 时同时扔掉 2 个 28-bit 素数。
- 消耗速度： 56 bits / Level。
Mult² 方法：
- 利用 $q_{\text{div}}$ 的隐式缩放，你在 Rescale 时只扔掉 1 个 28-bit 素数。
- 消耗速度： 28 bits / Level。

影响： 假设你的硬件或安全参数限制了你的最大模数总量 $Q_{\max}$ （比如由环维数 $N$ 决定）。

Mult² 可以跑的深度（层数）是朴素方法的 2 倍。

2. 真正的性能杀手：环维数 $N$ 的选择

这才是 Mult² 真正快的原因。同态加密的性能主要取决于环维数 $N$ （4096 vs 8192 vs 16384…）。 $N$ 每翻倍，计算量大约增加 2-4 倍，内存增加 2 倍。

假设我们要跑一个 深度为 10 的 56-bit 精度电路。

场景 A：朴素方法

总模数需求： $10 \text{ 层} \times 56 \text{ bits/层} + \text{基础位} \approx \mathbf{600 \text{ bits}}$ 。
安全约束：为了支持 600 bits 的模数且保持 128-bit 安全性，你查表发现必须使用 $N = 2^{15} (32768)$ 。
代价： 你的 GPU 必须跑 32k 点的 NTT。

场景 B：Mult² 方法

总模数需求： $10 \text{ 层} \times 28 \text{ bits/层} + \text{基础位} \approx \mathbf{300 \text{ bits}}$ 。
安全约束：300 bits 的模数非常小，只需要 $N = 2^{14} (16384)$ 就能保证 128-bit 安全。
优势： 你的 GPU 只需要跑 16k 点的 NTT。
性能红利：
- $N$ 减半，NTT 速度提升 2 倍以上。
- 密文尺寸（虽然 Mult² 有一对密文）总体上可能更小或持平。
- Key Switching Key 的大小大幅减小。

3. 计算复杂度与工程复杂度

这里是朴素方法唯一的赢面。

维度	朴素方法 (Naive)	Mult² 方法	点评
单次乘法开销	低 (1次 Tensor, 1次 Relin, 1次 Rescale)	高 (3次 Tensor, 2次 Relin, 2次 Rescale)	逻辑上 Mult² 算得更多。
工程实现难度	极低 (现有代码改改参数即可)	高 (需要重写 Evaluator 逻辑)	朴素方法开发最快。
误差稳定性	高 (标准 CKKS 误差)	中 (低位误差积累，需定期 Recombine)	朴素方法更省心。

4. 综合判定：你应该选哪个？

这取决于你的 GPU 算力瓶颈 和 应用场景需求。

情况一：如果你追求极致性能 (Performance Critical)

选 Mult²。 虽然 Mult² 单次乘法步骤多（大概慢 2-3 倍），但它允许你把 $N$ 降一档（比如从 32k 降到 16k）。

$N$ 的降低带来的全系统加速（KeyGen, Enc, Dec, Add, Mult, Rot）通常能抵消掉 Mult² 算法本身的开销，并且在同样的硬件上能跑更深的网络。

情况二：如果你只是想跑通流程，或者电路很浅 (Development Efficiency)

选朴素方法。 如果你的电路只有 3-4 层，总模数本来就不大（比如 200 bits），无论用哪种方法 $N$ 可能都是 $2^{14}$ 。

这种情况下，Mult² 的“省模数”优势发挥不出来，反而因为算法步骤多而变慢。
朴素方法实现简单，不易出错，且完美利用你的 28-bit NTT。

总结建议

既然你已经手握 高性能 28-bit GPU NTT：

第一阶段（MVP）： 先实现 朴素方法。
- 把 SEAL 的 60-bit 素数逻辑改成“每层用 2 个 28-bit 素数”。
- 这能让你快速验证 GPU Kernel 的正确性，跑通整个同态加密流程。
- 这时候你的系统就是一个标准的 RNS-CKKS，只是积木变小了。
第二阶段（SOTA）： 如果你发现 $N$ 太大导致显存爆了或者速度不够快，再升级到 Mult²。
- 这时候你是在“优化算法”，而不是在“调试环境”。
- 利用 Mult² 降低 $N$ ，进一步榨干 GPU 性能。

一句话总结： 朴素方法是**“用数量换精度”（费模数，简单）。 Mult² 方法是“用结构换空间”**（省模数，复杂，能降维）。

BOB: 还有个问题是Mult² 方法精度较低，对吧？

是的，你的理解非常准确。

相比于“朴素方法”（即标准 CKKS 逻辑），Mult² 方法的精度确实会更低，或者说它的精度衰减速度更快。

但这个“低”是在可控范围内的。为了帮你做决策，我们需要量化一下这个“低”到底意味着什么，特别是在你的 28-bit 系统 下。

1. 为什么精度会低？（误差来源）

朴素方法 (Standard CKKS)：
- 数学上是“精确”的模运算（除了 Rescaling 的舍入误差）。
- 它计算了所有的交叉项，没有丢弃任何信息。
- 误差来源： 主要是 Rescaling 引入的舍入噪声（Rounding Noise）。这是由 scaling factor $\Delta$ 决定的，通常很稳定。
Mult² 方法：
- 核心原罪： 它是“近似”计算。在 Tensor 步骤中，它直接扔掉了 $\check{ct}_1 \otimes \check{ct}_2$ （低位 $\times$ 低位）。
- 虽然这一项很小，但它终究不是 0。
- 累积效应： 随着层数加深， $\check{ct}$ （低位部分）会以 每层 +1 bit 的速度变大。你扔掉的那个“垃圾”也会越来越大。
- 结果： 这一项带来的误差会叠加在 Rescaling 噪声之上。

2. 低多少？（论文数据）

论文在 6.2 节的对比实验中给出了具体数据：

朴素方法（Standard）： 最终精度 31.3 bits。
Mult² 方法： 最终精度 31.0 bits。

解读： 在做了适当的维护（重组）后，Mult² 只比标准方法损失了 0.3 bits 的精度。对于大多数应用（如机器学习推理），这点损失几乎可以忽略不计。

3. 对你的 28-bit 系统的致命影响（Critical Warning）

但是！ 论文用的是 60-bit 的素数，而你用的是 28-bit 的素数。这对 Mult² 的精度稳定性是巨大的挑战。

请看这个对比：

场景 A：论文环境 (60-bit Primes)

素数 $q \approx 60$ bits。
低位初始大小 $\approx q/2 \approx 30$ bits。
安全余量（Headroom）： 低位可以从 30 bits 长到 60 bits 才会溢出/爆炸。
容忍度： 你有 30 bits 的空间来容忍“每层 +1 bit”的增长。所以论文说“6 层重组一次”就够了。

场景 B：你的环境 (28-bit Primes)

素数 $q \approx 28$ bits。
低位初始大小 $\approx q/2 \approx 14$ bits。
安全余量： 低位只能从 14 bits 长到 28 bits。
容忍度： 你只有 14 bits 的空间！

风险： 如果你在 28-bit 系统上跑 Mult²，只要稍微跑深一点（比如 10 层），低位误差可能就直接顶到了 24-25 bits。这时候你再扔掉 $\check{ct} \times \check{ct}$ ，扔掉的就不是“灰尘”，而是“半块砖头”了。这会导致精度雪崩式下降。

4. 结论与建议

回到你的架构选择：

如果你选择 Mult² 方法（为了省模数/降维）： 你必须付出额外的代价来维持精度：

更频繁的重组（Recombine）： 也许每 3~4 层 就要做一次 RCB-DCP，把低位误差清零。这会增加计算开销。
更精细的参数调优： 你可能需要把 $q_{\text{div}}$ 设得比 $q_\ell$ 小一点（例如 $q_{\text{div}}=24$ bits, $q_\ell=32$ bits），给低位留出更多缓冲空间。

如果你选择朴素方法（为了稳）：

精度无忧： 它对“低位增长”免疫，因为根本没有“低位”这个概念，所有项都算进去了。
开发简单： 不需要写复杂的重组逻辑。

最终建议： 考虑到你是第一次将 28-bit NTT 接入 SEAL，我强烈建议你先实现“朴素方法”。

它能直接验证你的 GPU Kernel 是否工作正常。
它的精度行为符合预期，调试难度低。
等这一步跑通了，如果你发现显存不够用或者速度还想再快，再去挑战 Mult² 这个“高难度副本”。